En la unidad anterior definimos la forma de hallar la medida en radianes correspondiente a 360°, para ello, debemos hallar el número de veces que un arco de circunferencia de longitud r puede trazarse a lo largo de la circunferencia. Este número no es un entero y ni siquiera un número racional. Como la circunferencia del círculo es \(2 \pi r\), el número de veces que r unidades se pueden trazar es \(2 \pi\); por tanto, un ángulo de \(2 \pi\) radianes corresponde a 360° y se escribe \(360^\circ = 2 \pi \) radianes. Este resultado da las siguientes relaciones.
Relaciones de conversión entre grados y radianes
Para la conversión de ángulos de grados a radianes, y viceversa, se emplean las siguientes relaciones.
- \(180^\circ = \pi \; \text{radianes}\)
- \(1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{radián} \approx 0.0175 \; \text{radián}\)
- \(1\; \text{radián} = (\dfrac{180}{\pi}) \approx 57.2958^\circ\)
A partir de estas relaciones, puedes pasar cualquier ángulo de grados a radianes o de radianes a grados y es lo que explicaremos a continuación.
Conversión de grados a radianes
Para pasar de grados a radianes basta con multiplicar el grado teniendo en cuenta las relaciones anteriores entre radianes y grados.
Ejemplo: Convierta cada ángulo de grados a radianes
$$\begin{array}{ccccc} a)\; 60^\circ & b)\: 150^\circ & c)\: -45^\circ & d)\: 90^\circ & e)\: 107^\circ \end{array}$$
Solución: para la conversión de grados a radianes se debe multiplicar el grado por \(\dfrac{\pi}{180}\), luego simplificamos los números que tenemos en la operación.
\(a)\; 60^\circ = 60*1\text{grado} = 60*\dfrac{\pi}{180}\text{radián} = \dfrac{\pi}{3}\:\text{radianes}\)
\(b)\; 150^\circ = 150*\dfrac{\pi}{180}\text{radián} = \dfrac{5\pi}{6}\:\text{radianes}\)
\(c)\; -45^\circ = -45*\dfrac{\pi}{180}\text{radián} = -\dfrac{\pi}{4}\: \text{radián}\)
\(d)\; 90^\circ = 90*\dfrac{\pi}{180}\text{radián} = \dfrac{\pi}{2}\: \text{radianes}\)
\(e)\; 107^\circ = 107*\dfrac{\pi}{180}\text{radián} \approx 1.868 \: \text{radianes}\)
Conversión de radianes a grados
Para pasar de radianes a grados, lo hacemos igual que antes, multiplicando, solo que esta vez, los radianes se multiplican por 180°, y se simplifica.
Ejemplo: Convierta cada ángulo de radianes a grados
$$\begin{array}{ccc} a)\; \dfrac{\pi}{6}\:\text{radián} & b)\: \dfrac{3\pi}{2}\:\text{radianes} & c)\: -\dfrac{3\pi}{4}\:\text{radianes} & d)\: \dfrac{7\pi}{3}\:\text{radianes} & e)\: 3\:\text{radianes} \end{array}$$
Solución: para la conversión de radianes a grados se debe multiplicar el radián por \(\dfrac{180}{\pi}\)
\(a)\; \dfrac{\pi}{6}\:\text{radián} = \dfrac{\pi}{6}*1\:\text{radián} = \dfrac{\pi}{6}*\dfrac{180}{\pi}\:\text{grados} = 30^\circ\)
\(b)\; \dfrac{3\pi}{2}\:\text{radianes} = \dfrac{3\pi}{2}*\dfrac{180}{\pi}\:\text{grados} = 270^\circ\)
\(c)\; -\dfrac{3\pi}{4}\:\text{radianes} = -\dfrac{3\pi}{4}*\dfrac{180}{\pi}\:\text{grados} = -135^\circ\)
\(d)\; \dfrac{7\pi}{3}\:\text{radianes} = \dfrac{7\pi}{3}*\dfrac{180}{\pi}\:\text{grados} = 420^\circ\)
\(e)\; 3\:\text{radianes} = 3*\dfrac{180}{\pi}\:\text{grados} \approx 171.89^\circ\)
Tabla de radianes y grados para ángulos especiales
Se puede la técnica de los ejemplos anteriores a fin de obtener la siguiente tabla, que presenta las medidas correspondientes a radianes y grados de ángulos especiales.
| Radianes | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) |
| Grados | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
| Radianes | \(\dfrac{7\pi}{6}\) | \(\dfrac{5\pi}{4}\) | \(\dfrac{4\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(\dfrac{5\pi}{3}\) | \(\dfrac{7\pi}{4}\) | \(\dfrac{11\pi}{6}\) | \(2\pi\) |
| Grados | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
